Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes q {\displaystyle q} $q$ und der Geschwindigkeit q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} ${\dot {q}}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion L {\displaystyle L} $L$ nach der Geschwindigkeit:

p j = ∂ L ∂ q ˙ j , j = 1 … n {\displaystyle p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1\ldots n}

p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1\ldots n

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} ${\hat {p}}$ ersetzt:

p j → p ^ j = − ℏ i ∂ ∂ x j {\displaystyle p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}

p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}

Beispiele

Klassische Bewegung

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse m {\displaystyle m} $m$ in einem Potential V ( x , t ) {\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)} $V(\mathbf {x} ,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

L = 1 2 m x ˙ 2 − V ( x , t ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t)}

L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t)

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls: p = m x ˙ {\displaystyle \mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }}}

\mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }}

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse m {\displaystyle m} $m$ in einem Potential V ( r , φ , z , t ) {\displaystyle V(r,\varphi ,z,t)} $V(r,\varphi ,z,t)$ in Zylinderkoordinaten

L = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 + z ˙ 2 ) − V ( r , φ , z , t ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t)}

L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t)

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse: p φ ˙ = ∂ L ∂ φ ˙ = m r 2 φ ˙ {\displaystyle p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }}}

p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }}

Bei Bewegung einer Punktladung q {\displaystyle q} $q$ mit Masse m {\displaystyle m} $m$ im elektromagnetischen Feld ( ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ ist das elektrische Potential)

L = 1 2 m x ˙ 2 − q ϕ ( t , x ) + q x ˙ ⋅ A ( t , x ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}

L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential A {\displaystyle \mathbf {A} }

\mathbf {A}

des Feldes: p = m x ˙ + q A ( t , x ) {\displaystyle \mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}

\mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )

Relativistische Bewegung

Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse m 0 {\displaystyle m_{0}} $m_{0}$ in einem Potential V ( x , t ) {\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)} $V(\mathbf {x} ,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

L = − m 0 c 2 1 − x ˙ 2 c 2 − V ( x , t ) {\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)}

L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls: p = m 0 x ˙ 1 − x ˙ 2 c 2 {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}}

\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}

Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung q {\displaystyle q} $q$ mit der Masse m 0 {\displaystyle m_{0}} $m_{0}$ im elektromagnetischen Feld

L = − m 0 c 2 1 − x ˙ 2 c 2 − q ϕ ( t , x ) + q x ˙ ⋅ A ( t , x ) {\displaystyle L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}

L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes: p = m 0 x ˙ 1 − x ˙ 2 c 2 + q A ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}

\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

Literatur

Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.