Kreisring

Kreisring mit Bezeichnungen

Als Kreisring bezeichnet man die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, d. h. zwischen zwei Kreisen mit gemeinsamem Mittelpunkt. Sein Flächeninhalt beträgt

A = π ⋅ ( R 2 − r 2 ) = π 4 ⋅ ( D 2 − d 2 ) {\displaystyle A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}\cdot (D^{2}-d^{2})}

A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}\cdot (D^{2}-d^{2})

wobei π {\displaystyle \pi } $\pi$ die Kreiszahl ist und R {\displaystyle R} $R$ und r {\displaystyle r} $r$ die Radien sowie D = 2 R {\displaystyle D=2R} $D=2R$ und d = 2 r {\displaystyle d=2r} $d=2r$ die Durchmesser des Außen- bzw. des Innenkreises bedeuten.

Der Flächeninhalt kann auch aus Innendurchmesser d {\displaystyle d} $d$ bzw. Außendurchmesser D {\displaystyle D} $D$ und Ringbreite b {\displaystyle b} $b$ errechnet werden:

A = π ⋅ ( D − b ) ⋅ b = π ⋅ ( d + b ) ⋅ b {\displaystyle A=\pi \cdot (D-b)\cdot b=\pi \cdot (d+b)\cdot b}

A=\pi \cdot (D-b)\cdot b=\pi \cdot (d+b)\cdot b

Diese Angaben finden sich z. B. bei Rohrquerschnitten; dabei ist b {\displaystyle b} $b$ die Wanddicke.

Ferner lässt sich mit der Kreisringbreite b {\displaystyle b} $b$ und mit dem mittleren Kreisringdurchmesser d m = ( D + d ) / 2 {\displaystyle d_{m}=(D+d)/2} $d_{m}=(D+d)/2$ der Flächeninhalt A {\displaystyle A} $A$ berechnen nach

A = π ⋅ d m ⋅ b {\displaystyle A=\pi \cdot d_{m}\cdot b}

A=\pi \cdot d_{m}\cdot b

Besondere Eigenschaften

Abbildung 1

In Abbildung 1 ist die Strecke zwischen dem Berührungspunkt der Tangente des Innenkreises und dem Schnittpunkt mit dem Aussenkreis bei beiden Kreisringen gleich groß. Der Mathematiker Mamikon Mnatsakanian zeigte durch geometrische Transformation, dass in diesem Fall auch die Flächen der Kreisringe gleich groß sind. Die tangential am Innenkreis anliegende Strecke wird schrittweise um den Mittelpunkt des Kreises rotiert. Die dabei gebildeten Segmente können nach innen verschoben werden, bis sie sich im Mittelpunkt treffen. Je schmaler die Segmente gewählt werden, desto glatter wird der Rand der durch das Zusammenschieben gebildeten Kreisfläche.
Die Strecke d {\displaystyle d} $d$ auf der Tangente des Innenkreises in Abbildung 2 ist proportional zur Fläche des Kreisrings.
Abbildung 3 zeigt einen Kreis mit dem Radius r = 5 {\displaystyle r=5} $r=5$ und vier weitere konzentrische Kreise mit den ganzzahligen Radien 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} $1,2,3$ und 4 {\displaystyle 4} $4$ .

Dann sind der äußere graue Kreisring mit der Breite b = 1 {\displaystyle b=1}

b=1

und der graue Kreis mit dem Radius 3 {\displaystyle 3}

3

flächengleich, obwohl der graue Kreis größer erscheint. Dieses Phänomen wird auch als Bullaugen-Illusion bezeichnet. Die Flächengleichheit ergibt sich unter Verwendung des pythagoreischen Tripels ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,\ 4,\ 5)}

(3,\ 4,\ 5)

aus π ⋅ 5 2 − π ⋅ 4 2 = π ⋅ 3 2 {\displaystyle \pi \cdot 5^{2}-\pi \cdot 4^{2}=\pi \cdot 3^{2}}

\pi \cdot 5^{2}-\pi \cdot 4^{2}=\pi \cdot 3^{2}

Abbildung 2
Abbildung 3

Anwendungen

Der für hydraulische Anwendungen wirksame hydraulische Durchmesser d H {\displaystyle d_{H}} $d_{H}$ bei einem Kreisring beträgt

d H = D 2 − d 2 D + d = D − d {\displaystyle d_{H}={\frac {D^{2}-d^{2}}{D+d}}=D-d}

d_{H}={\frac {D^{2}-d^{2}}{D+d}}=D-d

Soll z. B. für Bremsscheiben ein Reibmoment M t {\displaystyle M_{t}} $M_{t}$ mit der Axialkraft F a x {\displaystyle F_{ax}} $F_{ax}$ und dem Reibwert μ {\displaystyle \mu } $\mu$ nach

M t = μ ⋅ F a x ⋅ r μ {\displaystyle M_{t}=\mu \cdot F_{ax}\cdot r_{\mu }}

M_{t}=\mu \cdot F_{ax}\cdot r_{\mu }

bestimmt werden, berechnet sich der reibungsrelevante Radius r μ {\displaystyle r_{\mu }} $r_{\mu }$ bzw. Durchmesser d μ {\displaystyle d_{\mu }} $d_{\mu }$ nach

r μ = 2 ⋅ ( R 3 − r 3 ) 3 ⋅ ( R 2 − r 2 ) {\displaystyle r_{\mu }={\frac {2\cdot (R^{3}-r^{3})}{3\cdot (R^{2}-r^{2})}}}

r_{\mu }={\frac {2\cdot (R^{3}-r^{3})}{3\cdot (R^{2}-r^{2})}}

bzw. d μ = 2 ⋅ ( D 3 − d 3 ) 3 ⋅ ( D 2 − d 2 ) {\displaystyle d_{\mu }={\dfrac {2\cdot (D^{3}-d^{3})}{3\cdot (D^{2}-d^{2})}}}

d_{\mu }={\dfrac {2\cdot (D^{3}-d^{3})}{3\cdot (D^{2}-d^{2})}}

Siehe auch

Weblinks

Commons: Kreisringe – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kreisring – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kreisring aus mathematische-basteleien.de, abgerufen am 9. Dezember 2022

Einzelnachweise

↑ Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. 2006, ISBN 978-0-88385-555-3 (englisch, google.com ).
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 141
↑ Wells, D.: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, London (1991), Seite 87
↑ Druckverlust strömender Medien berechnen Formelsammlung und Berechnungsprogramme Anlagen- und Maschinenbau
↑ H. Hinzen: Maschinenelemente. Band 2. Oldenbourg Verlag, 2001