XY-Modell
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Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit und das Heisenberg-Modell mit ).
Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu[1] in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.[2] Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.
Das XY-Modell besteht aus Spins , die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall .
Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:
wobei
- über die nächsten Nachbarspins summiert wird
- „“ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
- die Kopplungskonstante
- ein externes Magnetfeld ist.
Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.
