Abhängige zufällige Auswahl



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In der Mathematik ist die abhängige Zufallsauswahl eine probabilistische Technik, die zeigt, wie man eine große Menge von Scheitelpunkten in einem dichten Graphen findet, so dass jede kleine Teilmenge von Scheitelpunkten viele gemeinsame Nachbarn hat. Es ist ein nützliches Werkzeug, um einen Graphen in einen anderen Graphen mit vielen Kanten einzubetten. Daher findet es seine Anwendung in der extremalen Graphentheorie , der additiven Kombinatorik und der Ramsey-Theorie .

Aussage des Theorems

Lassen Sie , und nehmen wir an :

Jeder Graph auf Eckpunkte mit mindestens Kanten enthält eine Teilmenge von Eckpunkten mit , so dass alle für mit , zumindest gemeinsame Nachbarn.

Beweis

Die Grundidee besteht darin, die Menge der Scheitelpunkte zufällig zu wählen. Anstatt jedoch jeden Scheitel gleichförmig zufällig auszuwählen, wählt die Prozedur zufällig zuerst eine Liste von Scheiteln und dann gemeinsame Nachbarn als die Menge von Scheiteln aus. Die Hoffnung ist, dass die gewählte Menge auf diese Weise mit größerer Wahrscheinlichkeit mehr gemeinsame Nachbarn hat.

Formal sei eine Liste von Knoten, die gleichförmig zufällig ausgewählt werden, mit Ersetzung (die Wiederholung erlaubt). Sei die gemeinsame Nachbarschaft von . Der Erwartungswert von ist

Für jede -elementigen Teilmenge von , enthält , wenn und nur wenn in der gemeinsamen Nachbarschaft von enthalten ist , die mit Wahrscheinlichkeit auftritt Eine ist schlecht , wenn es weniger als hat gemeinsame Nachbarn. Dann für jede feste -Glied Teilmenge von wird in enthaltenen mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als . Daher ist durch die Linearität des Erwartungswerts
Um fehlerhafte Teilmengen zu eliminieren, besteht das Verfahren darin, ein Element in jeder fehlerhaften Teilmenge auszuschließen. Die Anzahl der verbleibenden Elemente ist mindestens , deren erwarteter Wert mindestens ist. Folglich gibt es eine solche, dass mindestens Elemente übrig bleiben, nachdem alle Teilmengen mit schlechten Elementen entfernt wurden . Die Menge der übrigen Elemente drückt die gewünschten Eigenschaften aus.

Anwendungen

Turán-Zahlen eines bipartiten Graphen

DRC kann helfen, die Turán-Nummer zu finden . Unter Verwendung geeigneter Parameter, wenn ein zweiteiliger Graph ist , in dem alle Ecken in Grad höchstens haben , dann ist die extremalen Zahl wo nur abhängt .

Formal gilt, ob und eine hinreichend große Konstante ist, so dass If dann

und somit gilt die Annahme der abhängigen Zufallsauswahl. Daher existiert für jeden Graphen mit mindestens Kanten eine Vertex-Teilmenge der Größe, die erfüllt, dass jede -Teilmenge von mindestens gemeinsame Nachbarn hat. Durch Einbetten in durch willkürliches Einbetten in und dann Einbetten der Scheitelpunkte nacheinander, dann hat jeder Scheitelpunkt in höchstens Nachbarn in , was zeigt, dass ihre Bilder in mindestens gemeinsame Nachbarn haben. Somit kann unter Vermeidung von Kollisionen in einen der gemeinsamen Nachbarn eingebettet werden.

Dies kann verallgemeinert werden, um Graphen unter Verwendung der Variation der abhängigen Zufallsauswahl zu degenerieren .

Einbetten einer 1-Unterteilung eines vollständigen Graphen

DRC kann direkt angewendet werden, um zu zeigen, dass wenn ein Graph auf Scheitelpunkten und Kanten ist, dann eine

1-Unterteilung eines vollständigen Graphen mit Scheitelpunkten enthält. Dies kann in ähnlicher Weise wie im obigen Beweis der gebundenen Turán-Zahl eines bipartiten Graphen gezeigt werden.

In der Tat, wenn wir setzen , haben wir (seit )

und somit gilt die DRC-Annahme. Da eine 1-Unterteilung des vollständigen Graphen auf Knoten ein bipartiter Graph mit Größenteilen ist und jeder Knoten im zweiten Teil den Grad zwei hat, liefert das Einbettungsargument im Beweis der gebundenen Turán-Zahl eines bipartiten Graphen das gewünschte Ergebnis.

Variation

Eine stärkere Version findet zwei Teilmengen von Scheitelpunkten in einem dichten Graphen, so dass jede kleine Teilmenge von Scheitelpunkten in viele gemeinsame Nachbarn hat .

Seien formal einige positive ganze Zahlen mit und eine reelle Zahl. Angenommen, die folgenden Einschränkungen gelten:

Dann enthält jeder Graph auf Ecken mit mindestens Kanten zwei Teilmengen von Ecken, so dass alle Ecken in mindestens gemeinsame Nachbarn in haben .

Extremalzahl eines entarteten bipartiten Graphen

Mit dieser stärkeren Aussage kann man die Extremalzahl von -entarteten bipartiten Graphen nach oben begrenzen : für jeden -entarteten bipartiten Graphen mit höchstens Ecken ist die Extremalzahl höchstens

Ramsey-Zahl eines entarteten bipartiten Graphen

Diese Aussage kann auch angewendet werden, um eine obere Schranke der Ramsey-Zahl eines entarteten bipartiten Graphen zu erhalten. Wenn eine feste ganze Zahl ist, dann ist die Ramsey-Zahl für jeden bipartiten- entarteten bipartiten Graphen auf Knoten von der Ordnung

Verweise

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