Störung



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Anzahl der möglichen Permutationen und Derangements von n Elementen. n ! ( n Fakultät) ist die Anzahl von n -Permutationen; ! n ( n subfaktoriell) ist die Anzahl der Störungen n -Permutationen, bei denen alle n Elemente ihre Anfangsplätze ändern.

In der kombinatorischen Mathematik ist eine Derangement eine Permutation der Elemente einer Menge , so dass kein Element an seiner ursprünglichen Position erscheint. Mit anderen Worten, eine Derangement ist eine Permutation ohne Fixpunkte .

Die Anzahl der Störungen einer Menge der Größe n wird als Subfaktorielle von n oder n- te Störungszahl oder n- te de Montmort-Zahl bezeichnet . Zu den gebräuchlichen Notationen für Subfaktorielle zählen ! n, D n , d n oder n .

Das kann man zeigen! n entspricht der nächsten ganzen Zahl zu n !/ e, wobei n ! bezeichnet die Fakultät von n und e ist die Eulersche Zahl .

Das Problem der Zählung von Störungen wurde erstmals 1708 von Pierre Raymond de Montmort untersucht ; er löste es 1713, ebenso wie Nicholas Bernoulli ungefähr zur gleichen Zeit.

Beispiel

Angenommen, ein Professor hat 4 Studenten A, B, C und D einen Test gegeben und möchte sie die Tests des anderen benoten lassen. Natürlich sollte kein Schüler seinen eigenen Test benoten. Auf wie viele Arten konnte der Professor den Studenten die Tests zur Benotung zurückgeben, sodass kein Student seinen eigenen Test zurückbekam Von 24 möglichen Permutationen (4!) für die Rückgabe der Tests,

ABCD , AB DC, A CB D , Eine CDB, Ein DBC, A D C B,
BA- CD , BADC , BCA D , BCDA , BDAC , BD C A,
KAB D , CADB , C B A D , C B DA, CDAB , CDBA ,
DABC , DA C B, D B AC, D BC A, DCAB , DCBA .

es gibt nur 9 Störungen (oben in blauer Kursivschrift dargestellt). In jeder anderen Permutation dieses 4-köpfigen Sets bekommt mindestens ein Schüler seinen eigenen Test zurück (in fettem Rot dargestellt).

Eine andere Version des Problems entsteht, wenn wir nach der Anzahl der Möglichkeiten fragen, wie n Briefe, die jeweils an eine andere Person adressiert sind, in n voradressierte Umschläge gesteckt werden können, damit kein Brief im korrekt adressierten Umschlag erscheint.

Zählstörungen

Das Zählen von Störungen einer Menge läuft auf das Hat-Check-Problem hinaus , bei dem man die Anzahl der Möglichkeiten betrachtet, auf denen n Hüte (nennen Sie sie h 1 bis h n ) an n Personen ( P 1 bis P n ) zurückgegeben werden können, so dass no Hut macht es zurück zu seinem Besitzer.

Jede Person kann einen der n   1 Hüte erhalten, der nicht ihr eigener ist. Rufen Sie je nachdem , was Hut P 1 empfängt h i und betrachten h i s Eigentümer: P i empfängt entweder P 1 s Hut, h 1 oder eine andere. Dementsprechend teilt sich das Problem in zwei mögliche Fälle auf:

  1. P i erhält einen anderen Hut als h 1 . Dieser Fall ist äquivalent zur Lösung des Problems mit n   1 Personen und n   1 Hüten, denn für jede der n   1 Personen außer P 1 gibt es genau einen Hut unter den verbleibenden n   1 Hüten, die sie möglicherweise nicht erhalten (für jede P j neben P i , die nicht empfangen Hut h j , während für P i ist h 1 ).
  2. P i erhält h 1 . In diesem Fall reduziert sich das Problem auf n  - 2 Personen und n  - 2 Hüte, da P 1 empfangen h i s Hut und P i empfangen h 1 s Hut, effektiv sowohl aus der weiteren Betrachtung setzen.

Für jede der n   1 Hüte, die P 1 erhalten kann, ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie P 2 , , P n alle Hüte erhalten können, die Summe der Zählungen für die beiden Fälle.

Damit haben wir die Lösung des Hat-Check-Problems: algebraisch ausgedrückt, die Zahl ! n Störungen einer n -elementigen Menge ist

für ,

wo und .

Die Anzahl der Abweichungen kleiner Längen ist in der folgenden Tabelle angegeben.

Die Anzahl der Störungen einer n- elementigen Menge (Sequenz A000166 im OEIS ) für kleine n
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
! n 1 0 1 2 9 44 265 1.854 14.833 133.496 1.334.961 14.684.570 176.214.841 2.290.792.932

Es gibt verschiedene andere Ausdrücke für ! n , äquivalent zu der oben angegebenen Formel. Diese beinhalten

zum

und

zum

wobei die nächste ganzzahlige Funktion und die Bodenfunktion ist .

Andere verwandte Formeln umfassen

und

Es gilt auch folgende Wiederholung:

Ableitung durch Einschluss-Ausschluss-Prinzip

Man kann auch eine nicht-rekursive Formel für die Anzahl der Störungen einer n- Menge herleiten. Denn wir definieren die Menge der Permutationen von n Objekten, die das k- te Objekt fixieren . Jede Schnittmenge einer Sammlung von i dieser Mengen fixiert eine bestimmte Menge von i Objekten und enthält daher Permutationen. Es gibt solche Sammlungen, also ergibt sich das Einschluss-Ausschluss-Prinzip

und da eine Derangement eine Permutation ist, die keines der n Objekte fixiert lässt, impliziert dies

Zunahme der Anzahl der Störungen, wenn sich n nähert

Von

und

durch Einsetzen erhält man sofort das

Dies ist die Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Permutation einer großen Anzahl von Objekten eine Störung darstellt. Die Wahrscheinlichkeit konvergiert mit zunehmendem n extrem schnell gegen diese Grenze , weshalb ! n ist die nächste ganze Zahl zu n !/ e . Das obige halblogarithmische Diagramm zeigt, dass das Störungsdiagramm dem Permutationsdiagramm um einen fast konstanten Wert nacheilt.

Weitere Informationen zu dieser Berechnung und der obigen Grenze finden Sie im Artikel zur Statistik der Zufallspermutationen .

Asymptotische Expansion nach Bell-Zahlen

Eine asymptotische Entwicklung für die Anzahl der Störungen in Bezug auf Bell-Zahlen lautet wie folgt:

wobei eine beliebige feste positive ganze Zahl ist und die -te Bell-Zahl bezeichnet . Außerdem überschreitet die durch den großen O- Term implizierte Konstante nicht .

Verallgemeinerungen

Das Problem des rencontres fragt, wie viele Permutationen einer Größe- n- Menge genau k Fixpunkte haben.

Derangements sind ein Beispiel für das breitere Feld der eingeschränkten Permutationen. Zum Beispiel fragt das Ménage-Problem , wenn n Paare unterschiedlichen Geschlechts Mann-Frau-Mann-Frau-... um einen Tisch sitzen, wie viele Arten können sie sitzen, damit niemand neben seinem Partner sitzt

Formaler wollen wir bei gegebenen Mengen A und S und einigen Mengen U und V von Surjektionen A S oft die Anzahl der Funktionspaare ( f , g ) wissen ,  so dass f in U und g in V ist , und für alle a in A , f ( a ) g ( a ); mit anderen Worten, wo für jedes f und g eine Störung von S existiert, so dass f ( a ) = ( g ( a )).

Eine weitere Verallgemeinerung ist das folgende Problem:

Wie viele Anagramme ohne feste Buchstaben eines bestimmten Wortes gibt es

Zum Beispiel, für ein Wort, das nur aus zwei verschiedenen Buchstaben besteht, sagen wir n Buchstaben A und m Buchstaben B, ist die Antwort natürlich 1 oder 0, je nachdem, ob n = m oder nicht, denn die einzige Möglichkeit, ein Anagramm ohne zu bilden feste Buchstaben besteht darin, alle A mit B auszutauschen , was genau dann möglich ist, wenn n = m ist . Im allgemeinen Fall stellt sich für ein Wort mit n 1 Buchstaben X 1 , n 2 Buchstaben X 2 , ..., n r Buchstaben X r (nach richtiger Anwendung der Einschluss-Ausschluss- Formel) heraus, dass die Antwort die Form:

für eine bestimmte Folge von Polynomen P n , wobei P n den Grad n hat . Aber die obige Antwort für den Fall r = 2 ergibt eine Orthogonalitätsrelation, woraus die P n die Laguerre-Polynome sind ( bis auf ein leicht zu entscheidendes Vorzeichen).

Insbesondere für die klassischen Störungen

Rechenkomplexität

Es ist NP-vollständig zu bestimmen, ob eine gegebene Permutationsgruppe (beschrieben durch einen gegebenen Satz von Permutationen, die sie erzeugen) irgendwelche Störungen enthält.

Verweise

Externe Links

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